01. 나머지정리 Ⅰ-2. 나머지정리와 인수분해
1 다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,``b,``c`]의 값을 정하시오. [eqn: x ^{3} +ax ^{2}-24=(x+b)(x ^{2} +cx-12)] 2 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2x ^{2} -5x+4# =ax(x-2)+bx(x-1)+c(x-1)(x-2)] 가 성립할 때, 상수 [eqn: a,``b,``c`]의 값을 정하시오. 3 다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} +ax ^{2}+13x+9]를 [eqn: x+1]로 나누었을 때, 나머지가 2이다. 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. 4 다항식 [eqn: P(x)=4x ^{3} -x ^{2} +ax+5]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때 나머지와 [eqn: x+1]로 나누었을 때 나머지가 서로 같다. 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.	5 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x+3]으로 나누었을 때, 나머지가 [eqn: 1]이고, [eqn: x-1]로 나누었을 때, 나머지가 [eqn: -7]이다. [eqn: P(x)]를 [eqn: (x+3)(x-1)]로 나누었을 때, 나머지를 구하시오. 6 다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx-8]이 [eqn: x-1], [eqn: x+4]로 모두 나누어떨어질 때, 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하시오. 7 다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} -3x ^{2} +ax+b]가 [eqn: x ^{2} -2x-3]으로 나누어떨어질 때, 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하시오.

7  [eqn: P(x)=x ^{3} -3x ^{2} +ax+b]가 [eqn: x ^{2} -2x-3], 즉

[eqn: (x+1)(x-3)]으로 나누어떨어지므로

[eqn: P(-1)=0,`P(3)=0]

[eqn: -a+b-4=0,~3a+b=0]에서  [eqn: a=-1,``b=3]

[eqn: bold{-]2. 나머지정리와 인수분해

I

01. 나머지정리

1  등식의 우변을 정리하면

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} -24# =x ^{3} +(b+c)x ^{2} +(bc-12)x-12b]

이 식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: a=b+c], [eqn: bc-12=0], [eqn: -24=-12b]

따라서  [eqn: a=8,~b=2,~c=6]

2  주어진 등식의 양변에 [eqn: x=0], [eqn: x=2], [eqn: x=1]을 각각 대입하면
[eqn: 4=2c], [eqn: 2=2b,``][eqn: 1=-a]

따라서  [eqn: a=-1,``b=1,``c=2]

3  [eqn: P(-1)=2]이므로  [eqn: a-5=2]

따라서  [eqn: `a=7]

4  [eqn: P(1)=P(-1)]이므로  [eqn: 8+a=-a]

따라서  [eqn: `a=-4]

5  다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: (x+3)(x-1)]로 나누었을 때
몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b]([eqn: a,~b]는 상수)라고 하면  [eqn: P(x)=(x+3)(x-1)Q(x)+ax+b]

[eqn: P(-3)=1,~P(1)=-7]이므로

[eqn: -3a+b=1,````~a+b=-7]에서
[eqn: a=-2,~b=-5]

따라서 구하는 나머지는  [eqn: -2x-5]

6  [eqn: P(1)=0,``P(-4)=0]이므로

[eqn: a+b-7=0,`][eqn: 16a-4b-72=0]

따라서  [eqn: a=5 ,~b=2]